求高阶导数在x=0处的函数值

前提条件: f(x)f(x)在x=0x=0处无穷阶可导,事实上大部分函数都满足该条件.
解题步骤:

  1. 首先将函数在x=0处抽象展开f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xnf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
  2. 根据具体函数在x=0处具体展开
  3. 根据函数展开式的唯一性,一一比较系数即可.

例题

[例1] 设y=x3sin⁡xy=x^3\sin x, 求y(6)(0)y^{(6)}(0).

  1. 由于y=x3sin⁡xy=x^3\sin x无穷阶可导, 所以y=∑n=0∞y(n)(0)n!xny=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n
  2. 具体函数具体展开: y=x3sin⁡x=x3[x−16x3+o(x3)]=x4−16x6+o(x6)y=x^3\sin x = x^3[x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)]=x^4-\frac{1}{6}x^6+o(x^6)
  3. y(6)(0)6!x6=−16x6⇒y(6)(0)=−166!=−120\frac{y^{(6)}(0)}{6!}x^6=-\frac{1}{6}x^6 \Rightarrow y^{(6)}(0)=-\frac{1}{6}6!=-120

[例2] 函数y=ln⁡(1+2x)y=\ln(1+2x)在x=0x=0处的n阶导数y(n)(0)=y^{(n)}(0)=
y=∑n=0∞y(n)(0)n!xn=−2x−(−2x)22+(−2x)33+⋯+(−1)n−1(−2x)2n+o(xn)y=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n = -2x -\frac{(-2x)^2}{2}+\frac{(-2x)^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}(-2x)^2}{n}+o(x^n)

⇒y(n)(0)n!xn=−2nnxn⇒y(n)(0)==−2n(n−1)!\Rightarrow \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n =-\frac{2^n}{n}x^n \Rightarrow y^{(n)}(0)= = -2^n(n-1)!