前提条件: f(x)在x=0处无穷阶可导,事实上大部分函数都满足该条件.
解题步骤:
- 首先将函数在x=0处抽象展开f(x)=n=0∑∞n!f(n)(0)xn
- 根据具体函数在x=0处具体展开
- 根据函数展开式的唯一性,一一比较系数即可.
[例1] 设y=x3sinx, 求y(6)(0).
- 由于y=x3sinx无穷阶可导, 所以y=n=0∑∞n!y(n)(0)xn
- 具体函数具体展开: y=x3sinx=x3[x−61x3+o(x3)]=x4−61x6+o(x6)
- 6!y(6)(0)x6=−61x6⇒y(6)(0)=−616!=−120
[例2] 函数y=ln(1+2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=
y=n=0∑∞n!y(n)(0)xn=−2x−2(−2x)2+3(−2x)3+⋯+n(−1)n−1(−2x)2+o(xn)
⇒n!y(n)(0)xn=−n2nxn⇒y(n)(0)==−2n(n−1)!