零点问题的证明

零点问题存在性的证明方法:

1. 由连续函数介值定理或连续函数零点定理证明
2. 由罗尔定理证明:

   设$f(x)$存在$k$阶导数, 则如果$f(x)$有$k(k\ge2)$个零点,则$f'(x)$至少有$(k-1)$个零点$;...;f^{(k-1)}(x)$至少有1个零点.

至多有几个零点的证明方法:

设下列所提到的导数都存在,则有:
如果$f'(x)$没有零点,则$f(x)$至多有1个零点
如果$f'(x)$至多有1个零点,则$f(x)$至多有2个零点
......
如果$f'(x)$至多有k个零点,则$f(x)$至多有k+1个零点
如果$f''(x)$没有零点,则$f'(x)$至多有1个零点,$f(x)$至多有2个零点...

$f(x)$的零点与$f'(x)$的零点问题

[例1] (介值定理; 罗尔定理)
设$f(x)$满足(1)在$[0,1]$上连续;(2)在$(0,1)$上可导;(3)有点$x_i\in(0,1)$及常数$p_i$,满足$0<p_i<1,(i=1,...,n),\sum\limits_{i=1}^np_if(x_i)=1,f(1)=1$.试证明至少存在一点$\xi\in(0,1)$,使$f'(\xi)=0$.
证明:
如果$f(x_i)(i=1,...,n)$中至少有一个等于1, 例如$f(x_1)=1$,则$f(x)$在$(x_1,1)$上满足罗尔定理,即$\exists\xi\in(x_1,1)\subset(0,1)$,使$f'(\xi)=0$
如果$f(x_i)(i=1,...,n)$中无一等于1,那么不可能所有的$f(x_i)$都大于1,因若$f(x_i)>1(i=1,...,n)$,则$\sum\limits_{i=1}^np_if(x_i)>\sum\limits_{i=1}^np_i=1$,与题设矛盾.同理, 也不可能所有的$f(x_i)$都小于1.
所以$f(x_i)(i=1,...,n)$中至少有一个$f(x_i)$大于1,也至少有一个$f(x_i)$小于1,由连续函数介值定理知,至少有某$\eta\in(0,1),f(\eta)=1$
所以在$[\eta, 1]$上$f(x)$满足罗尔定理, 即$\exists\xi\in(\eta,1)\subset(0,1),$使$f'(\xi)=0$.证毕.

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[例2] (积分中值定理;用存在极值证明一阶导数存在零点)
设$f(x)$在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,$f(0)=0,f(1)=1, \int_0^1f(x)dx=2$,求证:至少存在一点$\xi\in(0,1),$使$f'(\xi)=0$.

[解题思路] 如果仍用罗尔定理,那么要从所给条件中去挖掘相当于$f(a)=f(b)$的条件, 这也不是不可能,但有点麻烦,这里用另一条思路,如果能在区间(0,1)内证明必存在极值,那么在可导的条件下,极值点处比有$f'(\xi)=0,$这就是用极值的必要条件证明$f'(x)$的零点存在性.

证明:
由$\int_0^1f(x)dx=2$及积分中值定理得,存在$\eta\in[0,1]$,使$f(\eta)(1-0)=f(\eta)=2$.
由于$f(x)$在[0,1]上连续,故存在最大值, 但$f(\eta)=2, f(0)=0,f(1)=1$
故必存在极大值点$\xi\in(0,1)$.
因此证明了存在$\xi\in(0,1),$使$f'(\xi)=0$.

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[例3] (用存在极值证明一阶导数存在零点)
设$f(x)$在[a,b]上可导,且$f'(a)f'(b)<0$,证明至少存在一点$\xi\in(a,b)$使$f'(\xi)=0.$

[解题思路] 根据条件$f'(a)f'(b)<0$,证明存在$\xi$使$f'(\xi)=0$,似乎很容易, 但实际不然,这里并没有假定$f'(x)$在[a,b]上连续,不能对$f'(x)$用零点定理.应该从$f'(a)$与$f'(b)$反号入手,去证明在开区间(a,b)内部必存在$f(x)$的极值点.

证明:
不妨设$f'(a)>0, f'(b)<0,$,从而有:
$\lim\limits_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f_+'(a)=f'(a)>0$
$\lim\limits_{x\rightarrow b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=f_-'(b)=f'(b)<0$
由保号性可知:
$\exists\delta_1>0,$当$0<x-a<\delta_1$时, $f(x)-f(a)>0$
$\exists\delta_2>0,$当$-\delta_2<x-b<0$时, $f(x)-f(b)>0$
故$f(a),f(b)$都不是$f(x)$在[a,b]上的最大值,f(x)在[a,b]上的最大值必在区间(a,b)内,又由于$f(x)$在区间[a,b]上可导, 故存在$\xi\in(a,b),$使$f'(\xi)=0, \xi$为极大值点.

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[例4] (积分法; 罗尔定理)
设$a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$,证明$\psi(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$在(0,1)内至少有1个零点.

[解题思路]考虑函数$\psi(x)$的零点,很自然地想到用函数的零点定理,但立刻发现:
$\psi(0)=a_0, \psi(1)=a_0+a_1+\cdots+a_n$,
无法知道$\psi(0), \psi(1)$是否反号. 可以考虑罗尔定理, 罗尔定理也可看做导函数的零点定理,不妨以罗尔定理试之,要构造一个函数$\varphi(x),$使$\varphi'(x)=\psi(x)$,构造$\varphi'(x)=\psi(x)$的方法很多,其中之一是积分法:取$\varphi(x)=\int_a^x\psi(t)dt$或$\varphi(x)=\int\psi(x)dx$

用积分法: 记
$\varphi(x)=\int\psi(x)dx=\int(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)dx=$ $a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$.
有$\varphi(0)=C, \varphi(1)=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_n}{n+1}+C=C=\varphi(0),$ 又$\varphi(x)$在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,故$\varphi(x)$在[0,1]上满足罗尔定理,所以$\exists\xi\in(0,1)$,使$\varphi'(x)=0,$即$\psi(x)=0$.证毕.

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[例5] (积分法; 罗尔定理)
设$f(x),g(x)$在区间[a,b]上连续,并设$\varphi(x)=g(x)\int_a^bf(x)dx - f(x)\int_a^bg(x)dx$,证明存在$\xi\in(a,b)$,使$\varphi(\xi)=0$.

[解题思路] 因为$g(a),g(b),f(a),f(b)$无法比较大小, 所以无法用连续函数介值定理,转而想到构造一个函数$\Phi(x),$使$\Phi'(x)=\varphi(x)$,然后对$\Phi(x)$使用罗尔定理.

令$\Phi(x)=\int_a^xg(t)dt\int_a^bf(x)dx - \int_a^xf(t)dt\int_a^bg(x)dx,$ 则有$\Phi(a)=0, \Phi(b)=0$,根据罗尔定理, $\exists\xi\in(a,b),\Phi(\xi)=0$,即
$\varphi(\xi)=g(\xi)\int_a^bf(x)dx - f(\xi)\int_a^bg(x)dx = 0$.证毕.

[注] 由于$\int_a^bf(x)dx$和$\int_a^bg(x)dx$都是定值,故可令$A=\int_a^bf(x)dx,B=\int_a^bg(x)dx$,则$\varphi(x), \Phi(x)$可简写为:
$\varphi(x)=Ag(x)+Bf(x)$
$\Phi(x)=A\int_a^xg(x)dx + B\int_a^xf(x)dx$