导数的几何应用

判断极值

1. 若$f(x)$在$x=x_0$处连续,在$x_0$的某去心邻域内可导,则

   1. 当$f'(x)$在$x_0$的左侧邻域内为正,在右侧邻域内为负, 则$x_0$为极大值点
   2. 当$f'(x)$在$x_0$的左侧邻域内为负,在右侧邻域内为正, 则$x_0$为极小值点

   注:不要求$f(x)$在$x_0$处可导.

2. 设$f(x)$在$x_0$处n阶可导,且$f^{(i)}(x_0)=0,(i=1,2,...,n-1),f^{(n)}\not=0$

   1. 当n为偶数且$f^{(n)}(x_0)<0$时,$f(x)$在$x_0$取得极大值
   2. 当n为偶数且$f^{(n)}(x_0)>0$时,$f(x)$在$x_0$取得极小值
   3. 当n为奇数且$f^{(n)}(x_0)\not=0$时,$x_0$为拐点.

判断拐点

(1) 凹凸曲线的定义:
$\forall x_1,x_2\in I$,有:
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)$在$I$上是凹曲线.
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)$在$I$上是凸曲线.

(2)拐点: 连续曲线上凹凸弧的分界点.

(3)判别法: 设$f(x)$在$I$上二阶可导,且$\forall x\in I$上有:

1. $f''(x)>0 \Rightarrow f(x)$在$I$上是凹弧.
2. $f''(x)<0 \Rightarrow f(x)$在$I$上是凸弧.

若曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是凹(凸)弧, 则曲线在该区间上的最大(小)值必在端点处

设$f(x)$在$x_0$处n阶可导,且$f^{(i)}(x_0)=0,(i=2,3,...,n-1),f^{(n)}\not=0$,
当n为奇数时,$(x_0,f(x_0))$即为拐点.(注意第一阶导数可以不为0)

求渐近线

1. 水平渐近线
   1. 若$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=y_1$,则$y=y_1$为一条水平渐近线
   2. 若$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=y_2$,则$y=y_2$为一另条水平渐近线
   3. 若$y_1=y_2$,则只算一条水平渐近线
   4. 若$y=y_1$和$y=y_2$均存在, 则不存在斜渐近线
2. 铅直渐近线
   1. 若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty$(或$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty$),则$x=x_0$为一条铅直渐近线.
   2. $x_0$一般是分母为0的点,函数无定义的点,定义域的端点.
3. 斜渐近线
   1. 若$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1,\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\frac{f(x)}{x}-k_1x)=b$存在,则$y=k_1x+b$为一条铅直渐近线
   2. 若$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2,\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\frac{f(x)}{x}-k_2x)=b$存在,则$y=k_2x+b$为另一条铅直渐近线
   3. 若这两条渐近线相同, 则只能算一条.

   eg:下列函数存在斜渐近线的是:
   (A) $y=x+\sin x$
   (B) $y=x^2+\sin x$
   (C) $y=x+\sin\frac{1}{x}$
   (D) $y=x^2+\sin\frac{1}{x}$
   显然B,D都没有斜渐近线,A和C中,$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{y}{x}=1, \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sin\frac{1}{x}=0, \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sin x$极限不存在
   故答案为C.

区率与曲率半径

若曲线$y=f(x)$存在二阶导数,则该曲线上所有不是拐点的地方都存在一个曲率圆,设$M(x,f(x))$为该曲线上的一点, 则该点的曲率为$k=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^\frac{3}{2}}$, 圆心在曲线凹侧经过$M$点的法线上,与$M$点的距离为 $\frac{1}{k}$, 此即曲率半径.在$M$点, 曲线与曲率圆具有相同的$y,y',y''$

其他

1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上点$(x_0,y_0)$处的切线的斜率为:$y'=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$(将椭圆方程作为隐函数两边同时对$x$求导即可得到)
2. 椭圆上一点$(x_0,y_0)$处的切线方程为:$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$

例题

[例1] (证明单调性, 拉格朗日中值定理)
求证: $f(x)=(1+\frac{1}{x})^x$在$(0,+\infty)$内单增.
证明:
$f(x)=e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{x[\ln(1+x)-\ln x]}$
$f'(x)=(1+\frac{1}{x})^x[\ln(1+x)-\ln x+x(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x})]=(1+\frac{1}{x})^x[\ln(1+x)-\ln x -\frac{1}{x+1}]$
对$f(x)$在$[x,x+1]$上应用拉格朗日中值定理:
$\exists \xi\in(x,x+1), \ln(1+x)-\ln x = \frac{1}{\xi}(x+1-x)=\frac{1}{\xi} > \frac{1}{x+1}$
$\therefore \ln(1+x)-\ln x -\frac{1}{x+1}>0 \Rightarrow f'(x)>0$,$f(x)$在$(0,\infty)$上单调递增.

[例2] (证明拐点)
设$y=f(x)$三阶导数连续,$f''(x_0)=0,f'''(x_0)>0$,求证$(x_0,f(x_0))$为拐点.
证明:
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f''(x)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0}=f'''(x_0)>0 \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f''(x)}{x-x_0}>0$
当$x\in(x_0-\delta, x_0)$时,$f''(x_0)<0$
当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时,$f''(x_0)>0$,
故$(x_0, f(x_0))$为拐点.

[例3] (求最值)
求函数$f(x)=nx(1-x)^n$在$[0,1]$上的最大值$M(n)$及$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}M(n)$.
解:
$f(0)=f(1)=0$
$f'(x)=n(1-x)^n+n^2x(1-x)^{n-1}=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)=n(1-x)^{n-1}(1-(n+1)x)$
令$f'(x)=0\Rightarrow x_0=\frac{1}{n+1}$
$\therefore f(x_0)=\frac{n}{n+1}(\frac{n}{n+1})^n=(\frac{n}{n+1})^{n+1}>0$
$\therefore M(n)=(\frac{n}{n+1})^{n+1}$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}M(n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n+1})^{n+1}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(n+1)(\frac{n}{n+1}-1)}=e^{-1}$