导数

0.导数的定义

若$f(x)$在$x_0$的某一领域$U$内连续,且下列极限存在,则$f(x)$在$x_0$处可导.

1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2. $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

eg: 设$f(x)$在区间$[-\delta,\delta]$内有定义,$f(0)=1$,且满足:
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0$
证明$f(x)$在$x=0$处可导,并求$f'(0)$.
解:
原式=$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{-2x-\frac{1}{2}(-2x)^2+2xf(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2xf(x)-2x}{x^2}-2=2\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-1}{x}-2=0$
$\therefore \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-1}{x}=1=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$
$\therefore f'(0)=1$

1.基本导数公式

下式中的$a$均为常数
$(x^a)'=ax^{a-1}(a)$

$(a^x)'=a^x\ln a(a>0, a\not=1)$

$(e^x)'=(e^x)$

$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}(a>0, a\not=1)$

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'= \frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2 x$

$(\cot x)' = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x$

$(\sec x)' = (\frac{1}{\cos x})'=\frac{0+\sin x}{\cos^2x}=\tan x \sec x$

$(\csc x)' = (\frac{1}{\sin x})'=\frac{0-\cos x}{\sin^2x}=-\cot x\csc x$

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$

$(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$

$(\ln(x+\sqrt{a^2\pm x^2}))'=\frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}$ 🌠

2.常见函数的高阶倒数公式

$(\sin ax)^{(n)} = a^n\sin(ax + \frac{\pi}{2}.n)$

$(\cos ax)^{(n)} = a^n\cos(ax + \frac{\pi}{2}.n)$

$(a^x)^{(n)} = a^x(\ln a)^n$

$(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}$

$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\cdot\frac{(n-1)!}{x^n}, (x>0)$

$[\ln (x+1)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\cdot\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}, (x>-1)$

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = (-1)^n\cdot\frac{n!}{(x+a)^{n+1}}$

$(u\cdot v)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^nC_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}=u^{(n)}v + nu^{(n-1)}v' + \frac{n(n-1)}{2}u^{(n-2)}v'' + \cdots + uv^{(n)}$

3.变限积分求导公式

设$f(x)$为连续函数,$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$均可导,则有:
$(\lmoustache_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt)' = f(\varphi_2(x))\varphi_2'(x) -f(\varphi_1(x))\varphi_1'(x)$

4.由参数式所确定的函数的导数公式

设函数$y=f(x)$由某一参数式$f(x)=\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$ 确定,并设$x(t),y(t)$均可导,$x'(t)\not=0$, 则:

$y_x' = \frac{y_t'}{x_t'}$
$y_{xx}'' = \frac{(y_x')_t'}{x_t'}$

5.隐函数求导

设函数$y=f(x)$由方程$F(x,y)=0$确定,视$F(x,y)$中的y为x的函数$f(x)$, 对方程$F(x,y)=0$两边求导,得到一个关于$y_x'$的式子, 解出$y_x'$即可, 在分母不为0的情况下,将上面求过一次导数的式子进一步对x求导, 得到一个同时包含$y_x', y_x''$的式子, 代入上一步中求得的$y_x'$,即可得到$y_x''$.

6.幂指函数求导

$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)}$
$(u(x)^{v(x)})' = (e^{v(x)\ln u(x)})'=e^{v(x)\ln u(x)}[v'(x)\ln u(x)+\frac{v(x)}{u(x)}u'(x)]=u(x)^{v(x)}[v'(x)\ln u(x)+\frac{v(x)}{u(x)}u'(x)]$

7.反函数求导

设 $y=f(x)$可导且$f'(x)\not=0$, 则存在反函数$x=\varphi(y)$,且$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{f'(x)}$, 即$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$
若$y=f(x)$存在二阶导数, 则$\varphi''(y)=\frac{d\varphi'(y)}{dy}=\frac{d}{dy}(\frac{1}{f'(x)})=\frac{d}{dx}(\frac{1}{f'(x)})\cdot \frac{dx}{dy}=\frac{0-f''(x)}{(f'(x))^2}\cdot \frac{1}{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$

反函数存在的充分条件: 设$y=f(x)$在区间$(a,b)$内为严格单调的连续函数,则它必存在具有相同单调性的严格单调反函数.