中值定理总结 ⭐️⭐️⭐️

设$f(x)$在[a,b]内连续,则

• 涉及$f(x)$的定理(只需使用,不需证明)

  1. (有界性定理) $\exists K>0,\forall x\in[a,b]$, 使$|f(x)|\le K$;
  2. (最值定理) $\exists m\le M,$其中$m,M$分别为$f(x)$在[a,b]上的最小,最大值;
  3. (介值定理) 当$m\le \mu \le M$时,$\exists\xi\in(a,b)$, 使$f(\xi)=\mu$;
  4. (零点定理) 当$f(a)\cdot f(b)\lt 0$时,$\exists\xi\in(a,b)$,使$f(\xi)=0$;
     
     

• 涉及$f(x)'$的定理

  1. (费马定理)若$f(x)$在$x=x_0$处 可导 且 取极值, 则$f'(x)=0$;
     
     
  2. (罗尔中值定理)若$f(x)$满足以下三个条件,则$\exists\xi\in(a,b)$,使$f'(\xi)=0$ ⭐️⭐️⭐️
     1. [a,b]内连续
     2. (a,b)内可导
     3. $f(a)=f(b)$
        
        
  3. (拉格朗日中值定理)若$f(x)$满足下列两个条件,则$\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$⭐️⭐️⭐️
     1. [a,b]上连续
     2. (a,b)上可导

     [注]若$f(a)=f(b)$,$f'(\xi)=0$,即为罗尔定理.

  4. (柯西中值定理)若$f(x)$满足下列三个条件, 则$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
     1. [a,b]上连续
     2. (a,b)上可导
     3. $g'(x)\not=0$

     [注] 若取$g(x)=x, \Rightarrow \frac{f'(\xi)}{1}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,柯西定理退化为拉格朗日定理.

  5. (泰勒定理/泰勒公式)任何可导函数$f(x)=\Sigma a_nx^n$. ⭐️⭐️⭐️
     1. 带拉格朗日余项的泰勒公式(用于证明):
        $f(x)n+1$阶可导 $\Rightarrow$
        $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

        其中$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$为通项,$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$为拉氏余项,$\xi$介于$x$与$x_0$之间.

     2. 带佩亚诺余项的泰勒公式(用于计算):
        若$f(x)n$阶可导 $\Rightarrow$
        $f(x)=f(x_0)+f'(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

        其中$o((x-x_0)^n)$为佩亚诺余项.

     3. 当$x_0=0$时,泰勒公式成为麦克劳林公式
        $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$
        
        
  6. (积分中值定理)$\exists\xi\in[a,b]$,使$\int_b^af(x)dx = f(\xi)(b-a)$;

中值定理证明题的一般方法

• 介值定理三部曲

  1. $m \le f(x) \le M$(套话)
  2. $m \le \mu \le M$(难点, 主要步骤)
  3. $f(\xi)=\mu,\xi\in[a,b]$(套话)
     
     

• 罗尔定理用法总结
  由$(uv)' = u'v + v'u$,得

  1. 取$u=f(x),v=x$,记$F(x)=f(x)\cdot x$
     $\Rightarrow F'(x)=f'(x)\cdot x + f(x)$,则可证$f'(\xi)\cdot\xi+f(\xi)=0$
     
     

  2. 取$u=f(x),v=e^x$,记$F(x)=f(x)\cdot e^x$
     $\Rightarrow F'(x)=f'(x)\cdot e^x + f(x)\cdot e^x$, 则可证$f'(\xi)\cdot e^\xi + f(\xi)\cdot e^\xi=0$,又由于$e^\xi\ge0, \therefore f'(\xi) + f(\xi)=0$;
     
     

  3. 取$u=f(x),v=e^{\varphi(x)}$,记$F(x)=f(x)\cdot e^{\varphi(x)}$
     $\Rightarrow F'(x)=f'(x)e^{\varphi(x)}+f(x)e^{\varphi(x)}\varphi'(x)$
     $\Rightarrow f'(\xi)+f(\xi)\varphi'(\xi)=0$;
     
     

  4. 若题目要证$f'(\xi)=0$,则找$f(x_1)=f(x_2)$;
     若题目要证$f''(\xi)=0$,则找$f'(x_1)=f'(x_2)$或者找$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$
     
     

  5. 若题目要求证$f'(\xi)=a$, 则构造函数$F(x)=f(x)-ax$

• 求导公式逆用法
  $(uv)' = u'v + uv'$从右边的结果推导出左边的式子.
  
  

• 积分还原法

  1. 将欲证结论中的$\xi$该成$x$;
  2. 积分(令常数c=0);
  3. 使等式一端为0, 另一端记为$F(x)$.

  [例1] 证明拉格朗日中值定理:$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\xi\in(a,b).$

  1. $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  2. $f(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x,(c=0)$
  3. 令$F(x)=f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$
     则$F(a)=\frac{f(a)b - f(b)a}{b-a}=F(b), \Rightarrow\exists\xi\in(a,b),F'(\xi)=0$.

  [例2] 证明柯西中值定理:$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

  1. $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \Rightarrow f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)$
  2. $f(x)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x),(c=0)$
  3. 令$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)$,可得$F(a)=\frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}=F(b)$,根据罗尔中值定理,$\exists\xi\in(a,b),F'(\xi)=0$.

例题

中值定理的综合题一般至少会用到两个不同的中值定理,所以上述10个中值定理最好熟记于心,然后根据题目联想特定的定理.

[例1] (拉格朗日中值定理,介值定理)
设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续, 在$(0,1)$内可导,且$f(0)=0,f(1)=1$,证明存在两个不同的$\xi_1,\xi_2\in(0,1)$,使得$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2$.
分析: 只要题目中说到有两个不同的$\xi_1,\xi_2$,一般都需要划分区间.
证明: 用$\xi$将区间$[0,1]$划分为$[0,\xi],[\xi,1]$.在这两个区间上分别对$f(x)$使用拉格朗日中值定理,得:
$f(\xi) - f(0)=f'(\xi_1)(\xi-0) \Rightarrow \frac{1}{f'(\xi_1)}=\frac{\xi}{f(\xi)}$
$f(1) - f(\xi)=f'(\xi_2)(1-\xi) \Rightarrow \frac{1}{f'(\xi_2)}=\frac{1-\xi}{1-f(\xi)}$

由于$f(0)=0,f(1)=1$,根据介值定理,$\exists\xi\in(0,1), f(\xi)=\frac{1}{2},$此时有:$\frac{\xi}{f'(\xi)}+\frac{1-\xi}{1-f'(\xi)} = 2$
故存在两个不同的$\xi_1,\xi_2\in(0,1)$,使得$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2$

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[例2] (罗尔定理, 介质定理)
设$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的一阶导数连续, 在$(0,\frac{\pi}{2})$内二阶可导,且$f(0)=0,f(1)=3,f(\frac{\pi}{2})=1$,证明存在$\xi\in(0,\frac{\pi}{2})$,使得$f'(\xi)+f''(\xi)\tan x=0$.
分析:
$F'(x)=u'v+uv'=0$
$F'(x)=1\cdot f'(x)+\tan x f''(x)$
$F'(x)=\cos xf'(x) + \sin x f''(x)=0$
$F(x) = f'(x)\sin x$
证明:
令$F(x)=f(x)\sin x$.
$\because f(0)=0,f(1)=3$,在$(0,1)$内使用介值定理,
$\exists \eta\in(0,1),f(\eta)=1$.
$\because f(\eta)=f(\frac{\pi}{2})=1$,在$(\eta,\frac{\pi}{2})$上使用罗尔中值定理,
$\exists\tau\in(\eta,\frac{\pi}{2}),f'(\tau)=0$
$\because F'(0)=f'(0)\sin0=0,F(\tau)=f'(\tau)\sin\tau=0$,根据罗尔定理
$\exists\xi\in(0,\tau)\subset(0,\frac{\pi}{2}), F'(\xi)=f'(\xi)\cos\xi+f''(\xi)\sin\xi=0$
即$f'(\xi)+f''(\xi)\tan\xi=0$

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[例3] (罗尔定理)
Let $f(x)$ is thrid-order derivative on [0,1],and $f(0)=f(1)=0$,set $F(x)=x^2f(x)$,prove that there is at least on point $\xi\in(0,1)$, so that $F'''(\xi)=0$.
prove:
$F(x)=x^2f(x)$
$\because F(0)=F(1)=0$,according to Rolle theorem,
$\exists \xi_1\in(0,1), F'(\xi_1)=0$
$F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$
$\because F'(0)=0=F'(\xi_1)$,according to Rolle theorem,
$\exists\xi_2\in(0,\xi_1), F''(\xi_2)=0$
$F''(x)=2f(x)+2xf'(x)+2xf'(x) + x^2f''(x)$
$\because F''(0)=0 = F''(\xi_2)$,according to Rolle theorem,
$\exists\xi\in(0,\xi_2)\subset(0,1), F'''(\xi)=0$. Done!

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[例4] (罗尔定理)
设$f(x),g(x)$在$[a,b]$二阶可导,$g''(x)\not=0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0.$
求证:
(1) $g(x)\not=0,\forall x\in(a,b)$
(2) $\exists\xi\in(a,b),\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$
证明:
(1).反证法,设$\exists x_0\in(a,b),g(x_0)=0$,则:
$g(a)=g(x_0)=0 \Rightarrow \exists\xi_1\in(a,x_0), g'(\xi_1)=0$
$g(x_0)=g(b)=0 \Rightarrow \exists\xi_2\in(x_0,b), g'(\xi_2)=0$
$g'(\xi_1)=g'(\xi_2)=0 \Rightarrow \exists \xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b),g''(\xi)=0$, 与题设矛盾.
(2) 令$F(x) = f(x)g'(x) - f'(x)g(x)$,则有:
$F(a) = f(a)g'(a) - f'(a)g(a)=0$
$F(b) = f(b)g'(b) - f'(b)g(b)=0$
由罗尔定理:
$\exists\xi\in(a,b),F'(\xi)=0,$即$\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$.

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[例5] (积分中值定理, 拉格朗日中值定理)
设$f(x)$二阶可导,且$f(2)>f(1), f(2)>\int_2^3f(x)dx$,证明:$\exists\xi\in(1,3)$,使$f''(\xi)<0$.
证明:
由积分中值定理: $\exists\eta\in(2,3),\int_2^3f(x)dx=f'(\eta)(3-2)=f'(\eta)$
$f(1)<f(2) \Rightarrow \exists\xi_1\in(1,2),f'(\xi_1)>0$
$f(2)>f'(\eta) \Rightarrow \exists\xi_1\in(2,\eta),f'(\xi_2)<0$
由拉格朗日中值定理:
$\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2), f'(\xi_2)-f'(\xi_1)=f''(\xi)(\xi_2-\xi_1)$
$\because f'(\xi_2)<0, f'(\xi_1)>0, \xi_2 > \xi_1$
$\therefore f'(\xi_2)-f'(\xi_1)<0, (\xi_2-\xi_1)>0$
$\therefore f''(\xi)<0$

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[例6] ($f(x)$具体化 , 拉格朗日中值定理)
设$0<a<b<1$,证明$\arctan b - \arctan a < \frac{b-a}{2ab}$
证明:
令$f(x)=\arctan x$,在$[a,b]$上用拉氏定理:
$\arctan b-\arctan a = \frac{b-a}{1+\xi^2}<\frac{b-a}{1+a^2}<\frac{b-a}{a^2+b^2}<\frac{b-a}{2ab}$.
其中$\xi\in(a,b).$

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[例7] ($\xi$具体化, 拉个朗日中值定理)
设$f(x)=\arcsin x,\xi$为$f(x)$在$[0,t]$上拉格朗日中值定理的中值点,$0<t<1$,求$\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{\xi}{t}.$
解:在$[0,t]$上使用拉格朗日中值定理:
$\arcsin t - \arcsin 0 = \frac{t}{\sqrt{1-\xi^2}} \Rightarrow \xi=\sqrt{1-\frac{t^2}{\arcsin^2 t}}$

$\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{\xi}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{1-\frac{t^2}{\arcsin^t}}}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{\arcsin^2t-t^2}}{t\cdot\arcsin t}\lim\limits_{t\rightarrow0^+}=\frac{\sqrt{(\arcsin t+t)(\arcsin t-t)}}{t^2}=\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{2t(\frac{1}{6}x^3+o(x^3))}}{t^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}$