洛必达定理的正确使用姿势

洛必达定理(其中$*$可取$x_0,x_0^+, x_0^-, \infty,+\infty,-\infty$):

条件一: $\lim\limits_{x\rightarrow *}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow *}g(x)=0$(或$\infty$)

条件二: $f(x),g(x)$在$*$的去心领域内可导,且$g'(x)\not=0$

条件三: $\lim\limits_{x\rightarrow *}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$(或$\infty$);

则有$\lim\limits_{x\rightarrow *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow *}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$或($\infty$)

注: 一定要当$f(x),g(x)$同时满足上述三个条件,才可以使用洛必达法则, 否则错误!

eg1:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}$
$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{3x^2-3}{3x^2-2x+1}$
$=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{6x}{6x-2}$
$\not=\lim\limits_{x\rightarrow }\frac{6}{6}=1$(这一步不能继续使用洛必达法则,因为它不是未定式, 其极限已经存在)
$=\frac{6}{6-2}=\frac{3}{2}$(极限已经存在, 直接代入$x$计算出结果即可)

eg2:
已知$f(x)$在点$x=0$处连续, 且$f(0)=0$, 求$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}.$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$
$\not=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{1}=f'(0)$(错, 题目并未说$f(x)$在$x=0$的去心领域内可导,故不可用洛必达法则)
$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
$=f'(0)$

eg3:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos x)[x-\ln(1+\tan x)]}{\sin^4 x}$ (等价无穷小替换$\downarrow$)

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^2[x-\ln(1+\tan x)]}{x^4}$

$=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2}$ (洛必达$\downarrow$)

$=\frac{1}{4}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{\sec^2x}{1+\tan x}}{x}$ (通分$\downarrow$)

$=\frac{1}{4}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1+\tan x-\sec^2x}{x^2(1+\tan x)}$ (计算并提出非零因子$(1+\tan x)\downarrow$)

$=\frac{1}{4}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1+\tan x-\sec^2x}{x}$ (洛必达$\downarrow$)

$=\frac{1}{4}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sec^2x - 2\sec x\tan x \sec x}{1}$

$=\frac{1}{4}\frac{1-0}{1} = \frac{1}{4}$