函数极限的性质

1. 唯一性
   若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$,则$A$位移
2. 局部有界性
   若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$,$\exists M>0,\delta>0$,当$0<|x-x_0|<\delta$是,恒有$|f(x)|<M$
3. 局部包号性
   若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0$, 则$x\rightarrow x_0$时,$f(x)>0$
   若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A<0$, 则$x\rightarrow x_0$时,$f(x)<0$

[例 唯一性]
设$a$为常数,$I=\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\frac{e^{1/x}-\pi}{e^{2/x}-1}+a\arctan\frac{1}{x}$存在,求$a,I$.
解:
当$x \rightarrow 0$时, 一般要从$x \rightarrow x^+, x\rightarrow x^-$两个方向进行考虑.
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(\frac{e^{1/x}-\pi}{e^{2/x}-1}+a\arctan\frac{1}{x} =0 + \frac{a\pi}{2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(\frac{e^{1/x}-\pi}{e^{2/x}-1}+a\arctan\frac{1}{x} =\frac{0-\pi}{0-1} -\frac{a\pi}{2}$
$\Rightarrow$
$\frac{a\pi}{2} = \pi -\frac{a\pi}{2}$ $\Rightarrow$ $a=1, I=\frac{\pi}{2}$

[例 有界性]
$f(x)=\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$在()内有界:
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
分析: 讨论$f(x)$在指定区间$I$上的有界性,方法总结如下:

1. 理论上: 若$I=[a,b]$,用"连续函数在闭区间上必有界"
2. 三段论: 若$I=(a,b)$,则f(x)满足下列3个条件时在区间$I$内连续
   1. $\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)$存在
   2. $\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)$存在
   3. f(x)在(a,b)内连续

解:
$\lim\limits_{x\rightarrow -1^+}\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{(-x)\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-\sin(-3)}{(-2)(-3)^2}$存在
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{|x|\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{(-x)\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-\sin(-2)}{(-1)(-2)^2}$存在
又由于$f(x)$是初等函数, 故$f(x)$在(-1,0)内连续, 因此$f(x)$在(-1,0)内有界, 答案为A.

[例 保号性]
设$\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$且$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=-2$, 则$x=0$是:
A.极大值点 B.极小值点 C.非极值点 D.无法判断

解:
$f(0) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{1-\cos x}(1-\cos x) = -2*0 = 0$, 当$x\rightarrow 0$时, $1-\cos x > 0$,但$f(x)/(1-\cos x)=-2<0$, 所以根据保号性, 当$x\rightarrow 0$时,$f(x)<0$, 故$x=0$是$f(x)$的极大值点.