函数的连续与间断

连续性

1. 函数在一点处连续: 设$f(x)$在$x=x_0$的某邻域有定义, 且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$,则称$f(x)$在$x_0$处连续.
2. 函数在$(a,b)$上连续, 是指在$(a,b)$内的所有点上连续
3. 函数在$[a,b]$上连续, 是指在$(a,b)$内的所有点上连续,在$a$点左连续, 在$b$点右连续.
4. 闭区间上连续函数的性质:
   1. 有界性定理
   2. 最值定理
   3. 介值定理
   4. 零点定理

间断点

1. 当函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义时,才讨论该处的间断性,当只有单侧有定义时,不讨论该处的间断性.
2. 第一类间断点:
   1. 可去间断点:
      1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$都存在
      2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\not=f(x_0)$或则$f(x_0)$无定义.
   2. 跳跃间断点:左右极限都存在但不相等
3. 第二类间断点:
   1. 无穷间断点: $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty$(或$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty$)

      例如: $f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点

   2. 震荡间断点:函数值在某点出无限次震荡

      例如$g(x)=\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处为震荡间断点

例题

[例1] (连续性,间断性)
设$f(x)$与$g(x)$在$(-\infty,+\infty)$内都有定义,$f(x)$连续, $g(x)$有间断点且$f(x)\not=0$,则下列函数中必有间断点的是:
(A) $g[f(x)]$
(B) $f[g(x)]$
(C) $[g(x)]^2$
(D) $\frac{g(x)+f(x)}{[f(x)]^2}$
答: 选D. 连续函数与有间断点的函数复合, 或有间断点的函数与有间断点的函数复合,均可举出仍为连续的例子.