函数的重要性质,定理,公式

关于奇偶性

1. 奇$\times$奇 = 奇
2. 奇$\times$偶 = 奇
3. 偶$\times$偶 = 偶

   结果同正数与负数相乘

4. 奇函数与奇函数复合为奇函数
5. 偶函数与偶函数复合为偶函数
6. 偶函数与奇函数复合为偶函数

   复合结果为最外层函数的奇偶性

7. 任一定义在对称于原点的数集上的函数等,必可分解为一奇一偶函数之和

   $f(x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)] + \frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]$

关于有界性,无界性的若干充分条件

1. 设$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在,则存在$\delta>0, x\in(x_0 - \delta,x_0+\delta)$时, $f(x)$有界
2. 设$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)$存在, 则$\exists X>0,$当$|x|>X$是,$f(x)$有界.
3. 设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续, 则$f(x)$在$[a,b]$上有界.
4. 设$f(x)$在数集$U$上有最大(小)值,则$f(x)$在$U$上有上(下)界.
5. 有界函数与有界函数之和,乘积均为有界函数.

   以上均为充分条件, 其逆均不成立.

6. 设$\lim\limits_{x\rightarrow*}f(x)=\infty$,则$f(x)$在$*$的去心邻域内无界,但其逆不成立.

   $*$可以是$x_0, x_0^+,x_0^-, \infty,+\infty,-\infty$

一些结论

1. 在有限区间上,设$f'(x)$在(a,b)上有界, 则$f(x)$在(a,b)上有界.
2. 在有限区间上,设$f(x)$在(a,b)上无解, 则$f'(x)$在(a,b)上必无界.
3. 在无穷区间上,以$f(x)$或$f'(x)$无解为条件,分别推不出$f'(x)$或$f(x)$关于有界,无界的结论.